또 다시 역사상 최악의 인수

이를 단계별로 분석해 보겠습니다.

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## 1. 문제 이해

수직선 \( x = \sqrt{3} \)과 \( x = \sqrt{8} \) 사이의 \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) 곡선 아래, 그리고 \( x \)축 위의 면적을 구하라는 요청을 받습니다.

따라서 면적 \( A \)는 정적분으로 제공됩니다.

\[

A = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

\]

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## 2. 대체

\( u = x^2 + 1 \)로 둡니다. 그러면 \( du = 2x \, dx \)이므로 \( x \, dx = \frac{du}{2} \)입니다.

\( x = \sqrt{3} \)인 경우:

\[

u = (\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4

\]

\( x = \sqrt{8} \)인 경우:

\[

u = (\sqrt{8})^2 + 1 = 8 + 1 = 9

\]

---

## 3. 적분 변경

\[

\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

= \int_{x=\sqrt{3}}^{x=\sqrt{8}} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x \, dx

= \int_{u=4}^{u=9} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}

\]

\[

= \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u} \, du

\]

---

## 4. 평가

\[

\frac{1}{2} \왼쪽[ \ln|u| \오른쪽]_{4}^{9}

= \frac{1}{2} \left( \ln 9 - \ln 4 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{9}{4} \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{3^2}{2^2} \right)

= \frac{1}{2} \ln\left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \cdot 2 \ln\left( \frac{3}{2} \right)

= \ln\왼쪽(\frac{3}{2}\오른쪽)

\]

---

## 5. 최종 답변

\[

\boxed{\ln\left( \frac{3}{2} \right)}

\]

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Frequently Asked Questions

이 문제의 배경은 무엇입니까?

이 문제에서 다루는 정적분은 수직선 x = √3과 x = √8 사이의 곡선 y = x/(x² + 1) 아래와 x축 위의 면적을 구하는 것입니다. 미분방정식과 정적분 개념을 통해 더 자세히 탐구할 수 있습니다.

대체 변환에 대해 설명해 주세요.

이 문제는 u = x² + 1로 대체합니다. 이는 du = 2x dx로 이어져, x dx를 du/2로 간단히 할 수 있습니다. Mewayz의 대체법 모듈에서 자세한 설명과 예제를 제공합니다.

적분 변환 후 어떤 결과가 나올까요?

대체 후 적분은 ∫(4→9) (1/u) * (du/2)가 됩니다. 이때 1/u는 자연로그함수의 미분 결과로, ln|u|로 적분됩니다. 이 과정은 Mewayz의 적분기술 모듈의 208개 동영상 중 하나인 ln|u| 적분법에 관련됩니다.

이 문제의 실용적 용례가 무엇입니까?

이러한 적분은 물리학의 운동학, 통계학, 경제학 등 다양한 분야에서 유용합니다. 예를 들어, 물체 이동 경로나 확률분포에서 면적 구하기에 사용됩니다.

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